Un chocolatier dispose de 858 chocolats noirs et 624 chocolats blancs. Il veut faire des ballotins identiques composés de chocolats noirs et blancs. Pour que les ballotins soient identiques, il faut que le nombre de chocolats de chaque couleur dans chaque ballotin soit le même d’un ballotin à l’autre. Cela revient à rechercher tous les diviseurs communs de 858 et 624, c’est-à-dire toutes les possibilités de nombre de ballotins qui permettent une répartition équitable.
Idée centrale
Pour obtenir des ballotins identiques, le nombre de ballotins doit être un diviseur commun des totaux de chaque couleur. Le problème se transforme donc en: trouver tous les diviseurs communs de 858 et 624, et pour chaque diviseur commun n, calculer combien de chocolats noirs et blancs iront dans chaque ballotin.
Le raisonnement peut être condensé en une étape clé: trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de 858 et 624, puis diviser les totaux par ce PGCD pour obtenir le contenu par ballotin dans la configuration la plus granulaire possible. Ensuite, toutes les possibilités correspondent aux diviseurs du PGCD.
Décomposition en facteurs premiers
858 = 2 × 3 × 11 × 13
624 = 2^4 × 3 × 13
- Les facteurs communs sont 2, 3 et 13.
- PGCD = 2^1 × 3^1 × 13^1 = 78.
Calcul des compositions possibles
En utilisant le PGCD 78, on obtient le nombre de ballotins si l’on répartit équitablement les chocolats par ballotin: 858 / 78 = 11 ballotins et 624 / 78 = 8 chocolats par ballotin.
Cela signifie qu’une composition possible est de 11 chocolats noirs et 8 chocolats blancs dans chaque ballotin lorsque l’on opère avec le PGCD comme dénominateur maximal.
Mais pour obtenir toutes les compositions possibles, il faut considérer tous les diviseurs du PGCD. Chaque diviseur d’un PGCD de 78 correspond à un nombre possible de ballotins, et la répartition par ballotin se déduit en divisant 858 et 624 par ce diviseur.
Ainsi, les diviseurs de 78 (1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78) donnent toutes les configurations possibles, avec pour chacun d’eux le nombre correspondant de chocolats noirs et blancs par ballotin calculé comme 858 divisé par le diviseur et 624 divisé par le diviseur.
Tableau récapitulatif des compositions
Remarque: les valeurs ci-dessous donnent, pour chaque nombre de ballotins k (diviseur de 78), le nombre de chocolats noirs et blancs par ballotin.
| Nombre de ballotins (diviseur de 78) | Chocolats noirs par ballotin | Chocolats blancs par ballotin |
|---|---|---|
| 1 | 858 | 624 |
| 2 | 429 | 312 |
| 3 | 286 | 208 |
| 6 | 143 | 104 |
| 13 | 66 | 48 |
| 26 | 33 | 24 |
| 39 | 22 | 16 |
| 78 | 11 | 8 |
Chaque ligne du tableau représente une composition possible: pour un nombre donné de ballotins, chacun contiendra le même nombre de chocolats noirs et blancs calculé par les divisions ci-dessus. Il faut noter que les nombres de chocolats par ballotin restent entiers car chaque diviseur du PGCD assure une répartition équitable.
Interprétation pratique
Le principe clé est que le nombre de ballotins doit être un diviseur commun à 858 et 624. Plus ce nombre est grand, moins il y a de chocolats par ballotin, et inversement. En pratique, tous les diviseurs du PGCD 78 donnent des compositions possibles; il suffit de calculer les rapports 858/diviseur et 624/diviseur pour obtenir la répartition exacte par ballotin.
PGCD : 4 MÉTHODES. Quelle sera ta préférée ?
Idées complémentaires et variantes
Le même cadre peut être appliqué à des quantités différentes en remplaçant 858 et 624 par d’autres totaux de chocolats. Le principe est identique: trouver le PGCD des totaux et explorer ses diviseurs pour obtenir toutes les répartitions possibles en ballotins identiques.
Dans des scénarios annexes, on peut aussi rechercher le maximum de ballotins en minimisant le nombre de chocolats par ballotin, ce qui revient à utiliser le PGCD comme plus grand nombre de ballotins et donc le plus petit contenu par ballotin possible, tout en restant entier et identique.