Un grand classique du Brevet 2013, cet exercice sur les moules à muffins allie géométrie spatiale et calculs de volumes. C'est l'entraînement idéal pour apprendre à éviter les pièges de conversion (litres vs cm³) et maîtriser les notions de troncs de cône. Dans un contexte de pâtisserie, il invite à modéliser une situation réelle par des outils mathématiques abstraits.
Notions clés et cadre du problème
La géométrie dans l'espace est au cœur de l'exercice : on calcule le volume d'un solide complexe, le tronc de cône, à partir de la formule du volume du cône de révolution et des propriétés d'agrandissement-réduction. Un moule à muffin est constitué de 9 cavités identiques, chacune étant la forme d’un tronc de cône (cône coupé par un plan parallèle à sa base).
Rappels utiles :
- Volume d’un cône de rayon de base r et de hauteur h : V = (1/3) π r² h.
- 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³.
Question 1 : Calcul du volume de la cavité
La méthode rigoureuse consiste à soustraire le volume du petit cône (la partie manquante en bas) du volume du grand cône original.
Étape 1 : dimensions du grand cône. La figure indique une hauteur totale de 12 cm et un diamètre de base de 7,5 cm. Le rayon R est donc 3,75 cm. Le volume du grand cône est : V1 = (1/3) π × 3,75² × 12.
Étape 2 : dimensions du petit cône. La hauteur du moule est de 4 cm, donc la hauteur du petit cône est 12 − 4 = 8 cm. Le coefficient de réduction est k = petite hauteur / grande hauteur = 8/12 = 2/3. Le petit rayon est r = 3,75 × (2/3) = 2,5 cm. Son volume est V2 = (1/3) π × 2,5² × 8.
Étape 3 : soustraction. Le volume de la cavité est V = V1 − V2. Le calcul donne environ V ≈ 176,71 − 52,36 ≈ 124,35 cm³, ce qui valide l’énoncé qui demande de montrer que c’est environ 125 cm³.
Question 2 : Gestion des quantités et conversion
Le problème passe ensuite à la gestion des quantités et des conversions. Léa possède 1 L de pâte. Rappel : 1 L = 1000 cm³. Elle veut remplir 9 cavités à 3/4 de leur volume. Le volume total nécessaire est donc : V_total = 9 × 125 × 3/4 = 9 × 93,75 = 843,75 cm³.
Puisque 843,75 < 1000, Léa a suffisamment de pâte. Il faut bien écrire la comparaison finale pour obtenir tous les points.
Pièges à éviter et conseils pour le jour J
- Diamètre vs Rayon : l’erreur fréquente consiste à utiliser 7,5 cm comme rayon. Divisez toujours par 2.
- Oubli du coefficient 9 : il y a 9 cavités dans le moule, pas une seule.
- Calcul du petit rayon : éviter d’estimer le rayon; utiliser le rapport de réduction ou le théorème de Thalès dans une coupe plane du cône.
- Unités : ne jamais comparer des litres et des cm³ sans conversion préalable.
Conseils de rédaction et structure
Pour maximiser les points, structurez votre réponse avec des connecteurs logiques : « On sait que », « Or », « Donc ». Présentez clairement les formules littérales avant l’application numérique. Même si le résultat final n’est pas atteint, laissez des traces de recherche, car la démarche est valorisée. Une figure annotée au brouillon peut aider à ne pas se perdre dans les hauteurs (12, 4 et 8 cm).
Importance de ce thème au Brevet
La géométrie dans l’espace représente environ 15% des points de l’épreuve. Maîtriser le passage du 2D (Thalès pour le rayon) au 3D (formule de volume) marque un niveau élevé en mathématiques de 3ème.
Tableau des résultats et synthèse
| Élément | Valeur |
|---|---|
| Grand cône | hauteur 12 cm, rayon 3,75 cm |
| Petit cône | hauteur 8 cm, rayon 2,5 cm |
| Volume cavité | ≈ 125 cm³ |
| Volume pâte par cavité (3/4) | ≈ 93,75 cm³ |
| Volume total nécessaire (9 cavités) | ≈ 843,75 cm³ |
En conclusion, les volumes et les réductions se combinent pour résoudre directement le problème posé par le Brevet et valident l’aptitude à gérer les conversions et les proportions dans un cadre concret.
