La proportionnalité est un concept fondamental en maths et dans la vie quotidienne: recettes de cuisine, prix au kilo, cartes géographiques, pourcentages de réduction… En 5ème, on apprend à reconnaître une situation de proportionnalité, à utiliser le coefficient de proportionnalité, la technique du produit en croix (règle de trois), et à calculer des pourcentages.
Qu’est-ce que la proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on peut passer de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.
- Situation Proportionnelle ? Explication
- Prix au kilo Oui ✓ 2 fois plus de kilos = 2 fois plus cher
- Âge et taille d’un enfant Non ✗ Un enfant de 10 ans n’est pas 2× plus grand qu’à 5 ans
- Distance et temps (vitesse constante) Oui ✓ 2× plus de temps = 2× plus de distance
- Côté et aire d’un carré Non ✗ Côté × 2 → aire × 4 (pas × 2)
Coefficient de proportionnalité
Le coefficient est le nombre par lequel on multiplie : grandeur 2 = coefficient × grandeur 1. Pour le trouver, on divise : coefficient = grandeur 2 ÷ grandeur 1.
Situation et calculs typiques :
- 3 kg → 7,50 € : 7,50 ÷ 3 kg = 2,50 €/kg et 3 × 2,50 = 7,50 €
- 5 h → 400 km : 400 ÷ 5 h = 80 km/h
- 4 personnes → 200 g de farine : 200 ÷ 4 = 50 g par personne
✅ Vérification : dans un tableau, tous les quotients (2e ligne ÷ 1re ligne) doivent donner le même nombre. Si un seul diffère, ce n’est pas proportionnel.
Tableaux de proportionnalité
Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner des colonnes, soustraire des colonnes, ou multiplier une colonne par un nombre.
Exemple croissant :
- Croissants : 3, 5, 8
- Prix (€) : 1,20 ; 3,60 ; 9,60
- Propriété d’additivité : 3 croissants + 5 croissants = 8 croissants, et prix 1,20 + 3,60 = 4,80 € ; mais le tableau montre que 8 croissants coûtent 9,60 €, ce qui demeure cohérent dans le cadre de la proportionnalité.
Le produit en croix (règle de trois)
Le produit en croix est la méthode la plus rapide pour trouver une valeur manquante. Si on a deux rapports égaux a/b = c/d, alors a × d = b × c.
Méthode concrète :
Problème : 4 stylos coûtent 6 €. Combien coûtent 7 stylos ?
- Poser le tableau : 4 stylos → 6 € ; 7 stylos → x €
- Produit en croix : x = (7 × 6) ÷ 4
- Calcul : x = 42 ÷ 4 = 10,50 €
Alternative : passer par le coefficient unitaire (prix d’un stylo) : 6 ÷ 4 = 1,50 €/stylo, puis 1,50 × 7 = 10,50 €. Le résultat est le même.
Les pourcentages
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. Dire « 25% » signifie « 25 pour 100 », soit 25/100 = 0,25.
- Calculer un pourcentage : Nombre × pourcentage ÷ 100
- Appliquer une réduction : Prix × (1 − pourcentage/100)
- Appliquer une augmentation : Prix × (1 + pourcentage/100)
- Trouver le pourcentage : (Partie ÷ Total) × 100
Exemples courants :
- 30% de 250 = 250 × 30/100 = 75
- −20% sur 80 € = 80 × 0,80 = 64 €
- +15% sur 200 € = 200 × 1,15 = 230 €
- 15 filles sur 25 = (15 ÷ 25) × 100 = 60%
Pourcentages courants à connaître par cœur :
- 50% = 1/2 = 0,5
- 25% = 1/4 = 0,25
- 10% = 1/10 = 0,1
- 75% = 3/4 = 0,75
- 33,3% = 1/3 ≈ 0,333…
Les échelles
Une échelle est un rapport de proportionnalité entre les distances sur une carte et les distances réelles. Formule : Échelle = distance sur la carte ÷ distance réelle (dans la même unité).
- 1/100 : 1 cm sur la carte = 1 m en réalité
- 1/25 000 : 1 cm sur la carte = 250 m en réalité
- 1/1 000 000 : 1 cm sur la carte = 10 km en réalité
Attention : unités à convertir dans la même unité avant de calculer. Consultez les conversions d’unités si besoin.
Exercices corrigés
- Reconnaître la proportionnalité
Énoncé : Le tableau ci-dessous est-il un tableau de proportionnalité ? Nombre de livres : 2, 5, 8. Prix : 14 €, 35 €, 56 €. 14/2 = 7, 35/5 = 7, 56/8 = 7. Tous les quotients sont égaux → oui, c’est proportionnel (coefficient = 7 €/livre). - Produit en croix
Énoncé : 6 mètres de tissu coûtent 45 €. Combien coûtent 10 mètres ? x = (10 × 45) / 6 = 75 €. - Pourcentage
Énoncé : Un pantalon coûte 65 € et bénéficie d’une réduction de 30%. Prix après réduction ? Réduction = 65 × 30/100 = 19,50 €. Ou 65 × 0,70 = 45,50 €. - Trouver un pourcentage
Énoncé : Sur 30 élèves, 12 ont choisi l’espagnol. Quel pourcentage ? (12 ÷ 30) × 100 = 40%. - Échelle
Énoncé : Carte à l’échelle 1/50 000, distance entre deux villes 8 cm. Distance réelle ? 8 × 50 000 = 400 000 cm = 4 000 m = 4 km.
Erreurs fréquentes à éviter
- 20% de réduction sur 80 € donne 64 € et non 60 €.
- Âge et taille ne sont pas proportionnels sans vérification du coefficient.
- Confondre « augmenter de 15% » et « 15% du total ».
- Oublier de convertir les unités dans les échelles.
L’essentiel à retenir
- Notion : Coefficient = grandeur 2 ÷ grandeur 1 (constant).
- Produit en croix : si a/b = c/d alors x = (b × c) / a.
- Pourcentage d’un nombre : Nombre × pourcentage ÷ 100.
- Réduction et augmentation : Prix × (1 − p/100) et Prix × (1 + p/100).
- Échelle : distance réelle = distance carte × dénominateur, en veillant aux unités.
La proportionnalité n’est pas qu’un chapitre de maths: c’est une logique à comprendre, un outil à utiliser, et un réflexe à acquérir. Plus tu pratiques, plus tu progresses.
