Je reviens brièvement sur le flambement qui est une instabilité donc un phénomène dynamique. La théorie des oscillations non linéaires, objet d’études incessantes et fructueuses depuis plus d’un siècle, inspiré dès l’aube de son développement par les écrits savants de Poincarré et Lyapounov (1892) et amène à des résultats tellement disparates qu’une solution industrielle n’a pas encore été atteinte (et après avoir passé pas mal de temps la dessus je pense que ce n’est pas demain que l’on obtiendra satisfaction). Et pourtant cette instabilité se produit dans les avions et dans beaucoup de machines industrielles. Et pourtant la recherche de condition nécessaire et suffisante de stabilité pour un système dynamique est vraiment un problème mathématique très intéressant.
Le premier résultat est dû à Lyapounov. Ce théorème donne pratiquement une condition nécessaire et suffisante de stabilité. Le problème de la stabilité se ramène donc à chercher une telle fonction (dite fonction de Lyapounov) souvent par tâtonnement. L’écriture d’une autre condition pratique nécessaire est dû à Hale en 1969. Pour vous montrer à quoi l’on arrive avec un suivi des conditions stable et non stable je vais donner quelques exemples simples. Le premier est un fil dans lequel la force de traction change brusquement suivant le dessin. On fait l’essai avec un fil, portant une masse en son milieu et avec un diapason au centre pour avoir l’amplitude de vibration. La variation d’élasticité (qui se produit souvent dans les structures) du fil consiste en une ondulation qui se superpose à la contrainte élastique et l’on peut déterminer les régions stables (ombrées) et non stables (sans hachures). On voit que si l’on veut aller de O à A on passe par une multitude de régions non stables donc on aura de très fortes vibrations. Donc tout ceci pour dire que la formulation exacte est loin d’être évidente et que la solution industrielle n’existant pas, on calcule donc le flambement statique qui lui n’est qu’une condition nécessaire de flambement mais n’est pas suffisante.
La condition nécessaire est l’annulation de la seconde variation virtuelle de l’énergie potentielle totale. La première image (a) correspond au cas d’une plaque chargée transversalement. La rigidité croît avec la charge appliquée et il n’y a pas de flambement. La courbe charges-déplacements est monotone croissante. La figure (b) est typique du flambage de coques (snap through). Que l’on rencontre avec des plaques avec déformations initiales, cylindres, arcs. Ici c’est une coque surbaissée avec une charge appliquée à son sommet. La courbe OBCDA est le chemin d’équilibre fondamental ou primaire. Le point B est le point de cloquage. Les portions OB et CA correspondent à des états stables alors que BC est instable. La figure (c) est caractéristique des flambements linéaires, ou le comportement avant flambement est linéaire. La ligne OBA caractérise le chemin fondamental et le point B est le point de bifurcation. La courbe BA’ (cylindre circulaire infiniment long soumis à une pression uniforme) et BA’’ (sphère complète soumises à une pression extérieure uniforme ou cylindre circulaire en compression axiale) sont les chemins secondaires ou courbes post- flambement. La courbe OBA caractérise pour ces coques un comportement axisymétrique alors que les courbes BA’ et BA’’ caractérisent des comportements asymétriques avec un certain nombre de vagues le long de la circonférence. Le point B délimite ainsi deux types de configuration. Le cylindre circulaire soumis à une pression externe n’est pas sensible aux imperfections pourvu qu’il soit suffisamment long. De petites imperfections de forme, de matériau, de chargement, de conditions limites modifient peu la valeur de la charge critique Pc. La courbe OD’ tenant compte des imperfections tend asymptotiquement vers BA’. Au contraire la sphère soumise à une pression uniforme ou le cylindre en compression axiale sont des coques dites sensibles aux imperfections . Le point B est un maximum théorique qui n’est jamais atteint en pratique. La pente de la courbe post flambement au voisinage de Pc est négative. En tenant compte des imperfections on obtient la courbe OD'' qui passe par un maximum S caractérisant un point limite et le flambement est du type cloquage. La figure (d) donne l’allure de la courbe P-déplacements pour un cylindre surbaissé soumis à une pression uniforme externe. Le problème est très fortement non linéaire ainsi que le montre la courbe OA ou l’on note plusieurs déplacements possibles pour un même déplacement ou pour une même charge. Sur la courbe fondamentale symétrique existe un point de bifurcation B origine d’un chemin secondaire adjacent et stable qui caractérise des configurations post flambement asymétriques stables.
On peut regarder pour divers niveaux de charge les diverses représentations schématiques de l’énergie totale en fonction du paramètre de déformation. Les positions stables sont en traits pleins alors que les instables sont en pointillés. Aux positions stables correspond un minimum relatif de l’énergie, aux positions critiques l’allure de la courbe est très variable : elle peut présenter un minimum, un maximum, ou un point d’inflexion. Le point critique peut donc être stable ou instable. Pour tracer ces courbes il y a bien entendu beaucoup d’analyse numérique. Le premier exemple est le flambement d’une enveloppe cylindrique sous l’action d’une pression latérale, provenant de l’extérieur. A représente le rayon du cylindre, h l’épaisseur de l’enveloppe et λ un facteur numérique. L’exemple suivant est une calotte sphérique S2, simplement supportée et soumise à une pression extérieure normale et uniforme. Il faut revenir aux calculs de cette époque. Les ordinateurs n’avaient pas la puissance qu’ils ont aujourd’hui (et ce n’est rien si l’on suppose la puissance de l’avenir) il fallait trouver un truc pour pouvoir réaliser de tels calculs rapidement. On avait donc crée un élément fini assez spécial basé sur les séries de Fourier, ce qui revenait à effectuer des calculs en 3 dimensions avec seulement un problème en 2 dimensions. On arrive ainsi à calculer une coque avec 10 éléments finis de Fourier. On en vient à la coque S4 et l’on trouve son flambement avec une charge critique adimensionnelle de 1,01 . Cette coque était modélisée avec 8 éléments ce qui est un exploit. Son flambement axisymétrique est obtenu avec une charge critique de 1,01 l’étude de son flambement asymétrique est d’abord obtenu avec l’étude du fondamental et des harmoniques. D’abord avec l’harmonique j=10 qui nous a donné une charge critique de 0,792.
On va maintenant s’intéresser aux comportements des matériaux avec non seulement des non linéariés géométriques mais en plus des matériaux élastoplastique, et l’on a analysé une coque (peu importe la description seul le résultat compte) qui flambe élastiquement et élastoplastiquement. La solution élastoplastique est très gourmande en temps de calcul. Ce qui est intéressant c’est de constater que la solution linéaire ne donne aucun flambement mais que la différence entre le flambement avec une loi de comportement linéaire est extrêmement éloigné du même flambement en élastoplastique. Il y a 45 ans environ la théorie du flambement (statique et dynamique) était à la mode, beaucoup d’essais ont été effectués et les résultats étaient en parfaite concordance avec les calculs ( des erreurs de bien moins de 2 %). J’ai donc fait du flambement statique sur des aciers, des fontes, de l’aluminium avec des non linéarités de toutes sortes mais jamais avec du bois ; Pourquoi ? Je ne sais pas ce n’était pas à la mode et puis aussi parce que peu de gens s’occupaient de la théorie du flambage du bois (j’espère qu’il y il y en avait tout de même). Et puis le bois est un matériau comme un autre et toutes les théories de la mécanique des milieux continus s’appliquent à tous les matériaux. On a bien adopté la plasticité du béton !!!
Dans cette capsule vidéo, Michel Provost nous parle du fonctionnement des colonnes. En pratique, la formule d'Euler n'est plus directement utilisée pour dimensionner une colonne. d'une barre parfaitement rectiligne et homogène, sans aucune imperfection géométrique et chargée sans aucune excentricité. Remarque pour les architectes : ce qui suit est facultatif et explique dans le détail le principe de dimensionnement d'une colonne par l'ingénieur. 2- les caractéristiques géométriques de la section exprimées par le rayon de giration (i). 3- Le rapport longueur de flambement / rayon de giration appelé l’élancement structural de la colonne (λ). est inférieur ou égal à 25 il n’y a pas de risque de flambement. Une méthode simple serait donc de respecter toujours cette condition. 4- Les minorations des résistances liées au matériau et au risque de flambement. celui-ci. CE QUI SUIT EST CE QUE "PREDIM" FAIT POUR VOUS... Les colonnes métalliques sont le plus souvent des profilés, des tubes,... quasi jamais des sections pleines. Pd... La résistance de la section est établie considérant les résistances de calcul réduite qui intègrent les minorations des résistances liées au matériau et au risque de flambement (cfr tableau). En bois nous aurons des sections pleines. Ainsi une colonne bi-articulée de 3 m de haut et de section carrée devrait avoir au moins 41 cm de côté ce qui n’est pas raisonnable ! 1. Il y a différentes essences de bois et les coefficients varient notamment en fonction des conditions d’hygrométrie. 2. La capacité portante du béton armé sera influencée par la proportion d’armatures.
Plusieurs nuances d’acier pour béton armé et de béton sont utilisées. Prédim intègre la philosophie de dimensionnement imposée par les Eurocodes. A l’ELU, le béton et l’acier travailleront dans leur palier de plasticité. Pour l’ingénieur de bureau d’études, l’évaluation de la longueur de flambement d’une barre comprimée peut apparaître comme un problème relativement complexe à résoudre. Cet article décrit la méthode pour évaluer la longueur de flambement d’une barre soumise à un effort axial variable par tronçons, certains tronçons pouvant être comprimés et d’autres tendus. Le principe consiste à modéliser la barre avec un logiciel de calcul de structure et à reproduire la distribution de l’effort axial pour la combinaison de charges étudiée. Après une analyse élastique linéaire de la barre, il convient de rechercher les modes propres d’instabilité élastique et de retenir le mode propre qui correspond au mode de flambement qu’on souhaite étudier. Cependant l’estimation de la longueur de flambement présente l’intérêt de pouvoir mieux apprécier le résultat du calcul en la comparant à la longueur de la barre. Il existe d’autres approches pour estimer la longueur de flambement d’une barre comprimée avec effort axial variable. La plus connue est celle des abaques de Sahmel. Considérons un poteau de hauteur 5,80 m, constitué d’un profil creux 140x140x5 formé à froid, en acier de nuance S275. Dans le cas présent, le mode propre d’instabilité élastique peut être déterminé à l’aide du logiciel LTBeamN. [1] NF EN 1993-1-1 : Eurocode 3 - Calcul des structures en acier. Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments. AFNOR.
Qu'est-ce que l'analyse du flambage ? L'analyse du flambage est un domaine de l'ingénierie qui traite de la prédiction de la charge à laquelle les structures, telles que les colonnes, les plaques, les coquilles et les poutres, se brisent par flambage. Cela est essentiel pour assurer la stabilité et la sécurité des structures elles-mêmes et de leurs charges. Définition de l'analyse du flambage: L'étude du moment et de la manière dont une structure subit une déformation sous l'effet d'une charge critique, conduisant à une rupture même si le matériau n'a pas cédé. Elle s'intéresse principalement à l'instabilité élastique. Il est essentiel de comprendre les principes de l'analyse du flambage pour concevoir des structures sûres et efficaces. Elle implique des calculs mathématiques pour établir la charge maximale qu'une structure peut supporter avant de se déformer. Ce type d'analyse est crucial dans les domaines du génie mécanique, civil et aérospatial, entre autres.
Comprendre la charge critique dans l'analyse du flambage: Charge critique : La charge maximale qu'une structure peut supporter avant de subir un flambage. Elle marque le seuil à partir duquel une structure perd sa stabilité et se déforme. La charge critique joue un rôle central dans l'analyse du flambage car elle aide les ingénieurs et les architectes à déterminer la capacité de charge des structures. Ce calcul permet de s'assurer que les bâtiments, les ponts et les autres constructions peuvent résister aux forces appliquées sans s'effondrer. Voici les points clés à comprendre sur la charge critique dans l'analyse du flambage :
- Elle est déterminée par la géométrie de la structure, les propriétés des matériaux et les conditions aux limites.
- Sa valeur varie considérablement en fonction du type de structure, par exemple une colonne fixée aux deux extrémités par rapport à une colonne libre de tourner à l'une ou aux deux extrémités.
- Les méthodes de calcul de la charge critique comprennent la formule de flambage d'Euler pour les colonnes élancées et une analyse par éléments finis plus complexe pour les formes irrégulières et les conditions de chargement.
- L'application de ces calculs permet de concevoir des structures plus sûres et plus fiables.
$P_{cr} = \frac{ {\pi^2 EI}}{ {4L^2}}$ Un exemple de calcul de la charge critique pour une colonne avec des extrémités fixes et goupillées montre comment les conditions aux limites affectent de manière significative la charge de flambage. Ici, $P_{cr}$ représente la charge critique, $E$ le module d'élasticité, $I$ le moment d'inertie et $L$ la longueur de la colonne. Le calcul de la charge critique sert non seulement de mesure de sécurité, mais il permet également d'optimiser l'utilisation des matériaux, en veillant à ce que les constructions ne soient pas surdimensionnées. Cet équilibre entre sécurité et rentabilité est crucial en matière d'ingénierie durable. En déterminant avec précision la charge critique, les ingénieurs peuvent prédire le comportement de flambage des structures sous des charges données, ce qui permet de concevoir des structures plus efficaces qui utilisent les matériaux de façon judicieuse.
Le phénomène de flambage n'est pas toujours indésirable en ingénierie. Dans certains cas, les ingénieurs conçoivent un flambage contrôlé pour absorber l'énergie, comme dans les zones de déformation des voitures.
Techniques d'analyse du flambage
L'analyse du flambage fait appel à diverses techniques pour prédire et prévenir les défaillances structurelles. Chaque méthode offre une approche unique adaptée à des types spécifiques de structures et de matériaux, assurant ainsi la sécurité et la stabilité des projets d'ingénierie. Le choix de la bonne technique est crucial pour obtenir des résultats précis, et cette section explore certaines des méthodes les plus couramment utilisées dans ce domaine.
Technique d'analyse du flambage des colonnes: La technique d'analyse du flambage des colonnes est fondamentale pour déterminer la résistance au flambage des colonnes longues et élancées soumises à des charges axiales. L'efficacité de cette technique dépend de la caractérisation précise des propriétés géométriques et matérielles de la colonne. Considérons une colonne d'une longueur de 3 mètres, d'un moment d'inertie de 0,0001 m4 et d'un module d'élasticité de 200 GPa, fixée à ses deux extrémités. En utilisant la formule de flambage d'Euler, la charge critique peut être calculée, en supposant que $K=0,5$ pour les extrémités fixes : Pcr = π^2 E I / (K L)^2.
La méthode d'analyse du flambage par éléments finis offre une approche plus nuancée par rapport aux méthodes classiques. Elle utilise des techniques numériques pour simuler le comportement de flambage de structures complexes sous diverses conditions de chargement et de limites. Cette méthode consiste à discrétiser la structure en éléments finis et à résoudre le problème de flambage à l'aide d'équations matricielles. Elle est avantageuse pour analyser les formes irrégulières, les matériaux inhomogènes et les conditions de chargement du monde réel, permettant ainsi une compréhension globale du phénomène de flambage.
L'analyse des valeurs propres pour le flambage est une technique sophistiquée utilisée pour prédire la charge critique des structures en déterminant la plus petite charge à laquelle la matrice de rigidité devient singulière. Cette méthode calcule les valeurs propres (charges critiques) et les vecteurs propres (modes de flambage) d'une équation matricielle dérivée des conditions d'équilibre et de rigidité d'une structure sous charge. La plus petite valeur propre correspond à la charge critique de flambage, ce qui permet aussi de comprendre les mécanismes de défaillance et d'améliorer les stratégies de conception.
Applications de l'analyse du flambage dans l'ingénierie aérospatiale: Dans ce domaine, l'analyse du flambage assure la sécurité des structures d'avions face à des pressions et des températures extrêmes. Les ailes, le fuselage et le train d'atterrissage font l’objet d’analyses approfondies pour résister aux conditions du vol. L’ingénierie aérospatiale moderne intègre l’analyse du flambage tout au long du cycle de vie d’un avion et soutient l’évaluation par l’utilisation de matériaux avancés et de conceptions innovantes afin d’améliorer les performances tout en garantissant la sécurité des passagers et de l’équipage.
Comment effectuer une analyse complète du flambage: elle nécessite une approche systématique, en commençant par la compréhension de la géométrie, des propriétés des matériaux et des charges. Les étapes incluent l’identification des modes de flambage potentiels, le choix d’une méthode d’analyse appropriée (analytique, numérique, etc.), l’application des conditions limites et des charges, puis l’interprétation des résultats pour guider les décisions de conception. Les outils logiciels modernes jouent un rôle crucial dans la facilitation de ces analyses.
Maîtriser l’analyse du flambage par éléments finis pour les applications aérospatiales: la FEM permet de modéliser en détail les structures aéronautiques (ailes, fuselage, train d’atterrissage) dans des conditions variées et est particulièrement utile pour prédire les flambages des matériaux composites, anisotropes et soumis à des variations de température et charges dynamiques pendant le vol.
Cette approche intégrée des techniques d’analyse du flambage soutient la sécurité, l’efficacité matérielle et l’innovation en ingénierie, en particulier dans les domaines critiques où les charges et les conditions environnementales sont extrêmes.
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