Les notions de proportionnalité en classe de sixième s’organisent autour de l’analyse de situations où deux grandeurs varient de manière constante. Chaque notion est expliquée pas à pas avec la méthode DPhiAlpha, afin d’aider les élèves à reconnaître, modéliser et résoudre des problèmes concrets.
Situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont dites proportionnelles lorsque l'on peut obtenir les valeurs de l'une en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre (non nul).
Un tableau de proportionnalité est un tableau à deux lignes où les valeurs de l'une sont proportionnelles aux valeurs de l'autre (chaque ligne correspondant aux valeurs d'une grandeur).
En 6e, un tableau de proportionnalité est utilisé pour résoudre des problèmes impliquant des grandeurs proportionnelles, comme calculer des prix, des distances, des temps, etc.
Pour reconnaître un tableau de proportionnalité, on vérifie si le rapport entre les valeurs correspondantes est constant.
Il existe plusieurs méthodes pour compléter un tableau de proportionnalité :
- Le passage à l'unité : on calcule la valeur pour une unité, puis on multiplie pour obtenir les autres valeurs.
- Le coefficient de proportionnalité : on détermine le coefficient, puis on l'utilise pour calculer les valeurs manquantes.
- Pour remplir un tableau de proportionnalité par combinaison de colonnes, on peut additionner ou soustraire des colonnes existantes.
- On peut additionner ces colonnes pour obtenir les valeurs pour 5 unités.
- Déduire de nouvelles colonnes.
- La méthode du passage à l'unité consiste à déterminer la valeur correspondant à une unité de la première grandeur, puis à multiplier cette valeur pour obtenir les autres.
- Cette méthode consiste à ramener une situation à une unité de la première grandeur pour faciliter les calculs.
- Correspondante de la première grandeur.
- Pour calculer le coefficient de proportionnalité, on divise une valeur de la deuxième grandeur par la valeur correspondante de la première grandeur.
- Pour résoudre un problème de proportionnalité : identifier les deux grandeurs en jeu, vérifier si elles sont proportionnelles, puis utiliser le coefficient de proportionnalité ou la combinaison de colonnes selon le contexte.
Voici quelques exemples de grandeurs proportionnelles dans la vie quotidienne :
- Le prix en fonction de la quantité achetée (par exemple, 1 kg de pommes coûte 2 €, donc 2 kg coûtent 4 €).
- La distance parcourue en fonction du temps à vitesse constante.
- La consommation d'essence en fonction de la distance parcourue.
Exercices et exemples corrigés
Exercice 1 : Inès a fait un gâteau au chocolat pour 8 personnes. Aidez-la à compléter le tableau en répondant à ces questions :
- Quelles sont les deux grandeurs mises en jeu dans ce tableau ?
- Compléter le tableau.
Exercice 2 : Passage à l’unité et calcul du prix unitaire en situation de proportionnalité.
Exercice : Le tableau ci-dessous est incomplet. Trouver le coefficient de proportionnalité et compléter les valeurs manquantes par calcul logique.
Exercice 3 : Échelle et agrandissement - Calculer une longueur à l’échelle.
Exercice : La tour Eiffel mesure 324 m. Si l’on considère une réduction à l’échelle, quelle serait la longueur correspondant à un modèle en 1:100 ?
Reconnaitre la proportionnalité (1) - Sixième
Méthode DPhiAlpha : approche pas à pas
La méthode DPhiAlpha propose une démarche structurée pour maîtriser la proportionnalité :
- Définir les Deux grandeurs (D et P) et vérifier leur rapport constant.
- Passage à l’unité pour clarifier le coefficient de proportionnalité.
- Calculer le coefficient de proportionnalité puis l’appliquer pour trouver les valeurs manquantes.
- Utiliser des combinaisons de colonnes ou des réécritures du tableau pour faciliter les calculs.
- Appliquer le même raisonnement à des situations simples (prix, distance, temps) pour gagner en automatismes.
Exemples supplémentaires issus des documents de référence incluent des cas concrets sur le coût en fonction de la quantité et la distance en fonction du temps, ainsi que des exercices illustrant le passage à l’unité et l’utilisation du coefficient.
Pour les activités vidéo, des corrigés en vidéo permettent de visualiser chaque étape, de la reconnaissance d’une situation proportionnelle à la détermination du coefficient et à l’application du tableau de proportionnalité.
Tableaux et méthodes complémentaires
Il est utile d’introduire et d’expliciter une table de proportionnalité où les valeurs de la deuxième grandeur varient en proportion avec celles de la première grandeur. Dans certains cas, on peut créer de nouvelles colonnes à partir des colonnes existantes pour faciliter le calcul.
Les méthodes enseignées permettent d’aborder les problèmes de vie courante : calcul du coût total à partir du prix unitaire, estimation de distances à partir du temps et détermination des consommations en fonction des kilomètres parcourus.
Tableau récapitulatif des méthodes
- Reconnaître la proportionnalité : vérifier le rapport constant entre grandeurs.
- Passage à l’unité : déterminer une unité et multiplier.
- Coefficient de proportionnalité : calcul et application.
- Combinaison de colonnes : additionner ou soustraire pour obtenir les valeurs manquantes.
- Résolution de problèmes : identifier les grandeurs, vérifier, puis appliquer le raisonnement approprié.
Les fiches et corrigés fournis dans les supports mentionnés (chapitre 16 et documents annexes) renforcent l’approche et proposent des exercices supplémentaires pour consolider les compétences.
Pour aller plus loin
Continuer à pratiquer avec des situations variées : prix en fonction de la quantité, distance en fonction du temps, consommation en fonction de la distance, et échelles sur des plans ou maquettes. La maîtrise se construit par la répétition et l’application à des contextes concrets du quotidien.
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