Une tarte est partagée en parts égales et les convives prennent chacun une part. Il reste de la tarte. Un des convives mange en plus toutes les parts de tarte qui restent, il a alors mangé 7 fois plus de tarte que chacun des convives. Quel est le nombre de convives ?
Énoncé et reformulation du problème
Une tarte est divisée en parts égales. Chaque convive prend une part et il reste des parts. Un convive supplémentaire mange toutes les parts restantes et, de ce fait, consomme 7 fois plus que chacun des convives qui avaient initialement pris une part.
On peut reformuler comme suit: si le nombre de convives qui prennent chacun une part est n et que chaque part équivaut à une portion de tarte, alors le nombre total de parts est P. Après que chacun ait pris une part, il reste R parts. Le convive « gourmand » mange les parts restantes, soit R parts, et R = 6 parts de plus par rapport à une portion consommée par un convive normal dans la version allégée (ou équivalent, R = 6 + 1 selon l’interprétation choisie). Dans la version standard du problème, on obtient que le gourmand mange 7 fois ce qu’un convive ordinaire a mangé.
Construction de l’équation
- Soit n le nombre de convives qui prennent chacun une part initialement.
- Supposons que la tarte est coupée en P parts égales et que chaque convive prend une part: on a P = n × 1 + R, où R désigne les parts restantes.
- Le convive gourmand mange les parts restantes, R parts, et il est dit que R = 6 × (la part consommée par un convive ordinaire) + 1 ou simplement que le gourmand mange 7 fois une part d’un convive normal selon l’interprétation choisie.
En pratique, on peut montrer que l’option la plus commune et cohérente est: le gourmand mange 7 parts au total alors que chaque convive normal en prend 1 part chacun; cela conduit à une égalité du type 7 = R et P = n + R.
Résolution pas à pas
- On considère que chaque convive normal mange 1 part et que le gourmand mange les parts restantes, soit R parts. L’information « il a mangé 7 fois plus que chacun des convives » donne la relation R = 7 × 1, donc R = 7.
- Le total des parts est donc P = n + R = n + 7.
- La tarte est partagée en parts égales et le nombre total de parts P doit être un entier positif, compatible avec la situation: après que chacun ait pris sa part, il reste R = 7 parts, ce qui implique que le nombre total de convives n est tel que P = n + 7 et P est divisible par 1 (ce qui est toujours vrai).
- On obtient un système simple: n est le nombre de convives initiaux et la tarte compte P parts, mais comme chaque convive prend 1 part et il reste exactement 7 parts, le nombre total de convives ne peut être déterminé que par d’autres données (par exemple si on sait que le gourmand en plus prend 7 parts au total et que cela fait 7 fois la part normale, alors n peut être n’importe quel entier tel que P = n + 7 reste cohérent avec une tarte coupée en P parts).
Interprétation alternative et vérification
Si l’on prend l’autre interprétation mentionnée dans l’énoncé: « le goinfre mange en fait 6 parts de plus qu'un convive normal (ça fait bien 7 fois en tout) » alors une approche commune donne: le gourmand mange 1 part de plus que chacun et au total 7 parts, ce qui confirme R = 7 et donne une relation similaire P = n + 7. Dans tous les cas, le problème est sous-déterminé sans une donnée supplémentaire précise (par exemple le nombre total de parts ou le nombre de convives).
Illustrations et représentations visuelles
Tableau de données possibles
| Nombre de convives n | Parts restantes R | Total de parts P = n + R |
|---|---|---|
| 3 | 7 | 10 |
| 4 | 7 | 11 |
| 5 | 7 | 12 |
Conclusion pratique
Dans cette situation, le nombre de convives n’est pas déterminé uniquement par les informations « le gourmand mange 7 fois plus que chacun » et « il reste 7 parts ». Il faut soit connaître le nombre total de parts de la tarte, soit le nombre de convives initiaux pour conclure avec une valeur unique. La clé est que le gourmand consomme 7 fois ce que consomme chacun et que les parts restantes valent 7 dans l’interprétation la plus courante.